Losst

我的第一台 MacBook

2026.05.30 · 共 184 字

二六年四月十八日，我有了第一台 MacBook。

我的第一台 MacBook

一个多月用下来，不管是开发还是日常体验，整体都挺不错的，环境比乱七八糟的 Windows 省心多了，基本不用怎么折腾，M5 Pro 跑一些本地模型都很轻松，便携性和续航都很顶，带出门用着还是蛮省心的。

图片左下角那个显示歌词的小工具是我自己搓的，还有不少样式，之后打算把它上架 Apple 应用商店，后面有什么问题或者新点子再来再说喽。

LiuYun - 开源的.NET+WinUI3的剪切板工具 - 支持光标处自动填入

2026.02.25 · 共 929 字

LiuYun 是一个基于 .NET + WinUI 3 的 Windows 剪贴板扩展工具
LiuYun v2.0.0（x64 安装包）
LiuYun v2.0.0（x64 Portable）
LiuYun v2.0.0（x32 安装包）
LiuYun v2.0.0（x32 Portable） 项目信息以及开源地址在下方

软件更新日志

v2.0.0

2026-03-05

•新增：「常用」页面，支持←→方向键快速切换，可将高频复制内容添加至该页面，常用内容调取更便捷
•新增：唤出窗口后，配合↑↓方向键选中、回车或鼠标左键点击确认，即可自动将内容填充到光标位置
•新增：数据一键导出导入功能
•新增：分类筛选增加内容数量显示
•新增：全局热键自定义设置支持双键、三键
•新增：颜表情增加8种分类
•新增：时间筛选增加4类快速筛选方式
•新增：面板支持跟随光标、自由移动拖动两种模式
•优化：浅色Windows主题下应用层级样式
•优化：数据存储位置迁移能力
•优化：启动版本自动检查
•优化：update不再自动下载改为跳转GitHub Release页面
•修复：修复了一些已知的问题

v1.0.1

2026-02-28

•新增：添加了更多的中文支持
•新增：系统托盘
•修复：全局热键还原异常
•优化：剪贴板事件和图片处理改成“有界队列+流式低拷贝”，并在窗口隐藏/关闭时强制释放列表与图像资源，从而让内存占用更低且回落更稳定

v1.0.0

2026-02-25

•LiuYun正式发布
•新增：剪贴板历史管理上限300条并自动去重
•新增：全局快捷键呼出支持开机自启
•新增：8类内容智能自动分类
•新增：剪贴板与便签联动，支持批量合并
•新增：搜索、时间筛选与多选批处理功能
•新增：图片查看与标注增强能力

结语

如果你也在寻找一个便捷、安全、自由的桌面记录工具欢迎使用 LiuYun

项目信息

GitHub: 相关链接
平台支持: Windows
作者: Losst
开源协议: GPL-3.0

如果在使用过程中遇到了问题可以在评论区中进行反馈

Gravatar头像镜像源推荐（2026年最新）

2026.01.30 · 共 706 字

Gravatar 的官方源共有四个：

Gravatar
https://www.gravatar.com/avatar/
https://cn.gravatar.com/avatar/
https://en.gravatar.com/avatar/
https://secure.gravatar.com/avatar/

国内用户访问 cn 与 en 几乎不可用, www 与 secure 的整体速度也偏慢但相对可用, 我整理了 2 个个人推荐的国内镜像源，海内外访问速度都很快

PS：素材整合自网络，测试在网络质量稳定时进行

镜像源头像测试 id 为：5a30677ff30753e69348ad7859ea60cb 参数：s=65 使用浏览器开发者工具测试（勾选“停用缓存”），统一使用相同URL，重复 5 次取平均本次测试网络环境：沈阳移动测试时间：2026-01-30

Typecho 附件上传失败排查指南

2026.01.27 · 共 1740 字

今天遇到了 Typecho 附件上传失败的问题，经过一番排查终于解决了。这里记录一下解决方案，希望能帮到遇到同样问题的朋友。

Ps：本文中的所有路径、用户名、数据库名均为示例，请根据您的实际服务器环境替换相应内容

常见原因

|------|------| | 1.目录权限不足 | Web 服务器用户对 uploads 目录没有写入权限 | | 2.PHP、Nginx 配置限制 | PHP 的 upload_max_filesize、post_max_size 或 Nginx 的 client_max_body_size 限制 | | 3.虚拟路径映射 | 服务器管理面板导致实际路径与 PHP 访问路径不一致 | | 4.attachmentTypes 配置错误 | 附件类型配置格式错误导致解析失败 |

本人遇到的问题

在我的案例中，问题是虚拟路径映射和配置错误的组合：

虚拟路径映射问题：使用服务器管理面板后，实际文件路径与 PHP 访问路径存在映射关系，导致在 Shell 中修改权限后，PHP 仍然无法写入
attachmentTypes 配置错误：数据库中的配置混合了宏定义（@image@）和具体扩展名，导致解析失败

虽然目录权限看似正确（所有者 www-data，权限 755），但由于路径映射的存在，实际上 PHP 访问的是另一个路径，该路径的权限才是关键。

排查与修复方案

1. 目录权限检查与修复

这是比较常见的上传失败原因，必须优先检查。

步骤1：查看 Web 服务器运行用户

ps aux | grep -E “php-fpm|nginx|apache” | head -2

记住运行用户，通常是 www-data、nginx 或 apache。

步骤2：检查上传目录权限

ls -la /your/website/path/uploads/

查看所有者和权限是否正确。

步骤3：修复权限

将目录所有者改为 Web 服务器用户（将 www-data 替换为你的实际用户） chown -R www-data
/your/website/path/uploads/ 设置合适的权限 chmod -R 755 /your/website/path/uploads/

如果上传附件仍然失败：尝试给予完全权限（不推荐，但可以排查问题）

chmod -R 777 /your/website/path/uploads/

2. 虚拟路径映射诊断与修复

服务器管理面板（1Panel、宝塔等）可能导致路径映射问题。

步骤1：创建诊断脚本

在网站根目录创建 path_test.php：

<?php
echo "<h3>路径诊断</h3>";
echo "PHP 访问的上传目录: " . __DIR__ . "/usr/uploads<br>";
echo "目录是否存在: " . (is_dir(__DIR__ . "/usr/uploads") ? "是" : "否") . "<br>";
echo "目录可读: " . (is_readable(__DIR__ . "/usr/uploads") ? "是" : "否") . "<br>";
echo "目录可写: " . (is_writable(__DIR__ . "/usr/uploads") ? "是" : "否") . "<br>";

// 显示实际物理路径
echo "<br>实际物理路径: " . realpath(__DIR__ . "/usr/uploads") . "<br>";
?>

步骤2：访问诊断脚本

浏览器访问 https://yourdomain.com/path_test.php，记录 PHP 显示的路径。

步骤3：对比路径

在 Shell 中查看：

pwd 假设输出: /opt/1panel/www/sites/yoursite

如果 Shell 路径与 PHP 路径不一致（例如 PHP 显示 /www/sites/yoursite），说明存在路径映射。

步骤4：修复权限

对 PHP 实际访问的路径修改权限：

chown -R www-data
/实际PHP访问的路径/uploads/ chmod -R 755 /实际PHP访问的路径/uploads/

步骤5：清理诊断文件

rm /your/website/path/path_test.php

3. attachmentTypes 配置修复

配置错误会导致 Typecho 无法识别允许的文件类型。

步骤1：检查当前配置

mysql -u 数据库用户名 -p 数据库名 << EOF SELECT value FROM typecho_options WHERE name = ‘attachmentTypes’; EOF

步骤2：识别错误

错误配置示例（混合宏定义和扩展名）：

@image@,@media@,@doc@,gif,jpg,jpeg,png…

正确配置（只包含扩展名）：

gif,jpg,jpeg,png,tiff,bmp,webp,avif,mp3,mp4,mov,wmv,wma,rmvb…

步骤3：修复配置

mysql -u 数据库用户名 -p 数据库名 << EOF
UPDATE typecho_options 
SET value = 'gif,jpg,jpeg,png,tiff,bmp,webp,avif,mp3,mp4,mov,wmv,wma,rmvb,rm,avi,flv,ogg,oga,ogv,txt,doc,docx,xls,xlsx,ppt,pptx,zip,rar,pdf'
WHERE name = 'attachmentTypes';
EOF

步骤4：验证修复

mysql -u 数据库用户名 -p 数据库名 << EOF SELECT value FROM typecho_options WHERE name = ‘attachmentTypes’; EOF

确认没有 @image@ 等宏定义。

步骤5：重启 PHP-FPM

systemctl restart php-fpm 或根据你的 PHP 版本：php7.4-fpm、php8.1-fpm 等

4. PHP、Nginx 配置限制修复

配置限制了上传文件的大小

PHP 配置

步骤1：检查 PHP 配置

php -i | grep -E “upload_max_filesize|post_max_size”

或创建 info.php 查看：

步骤2：修改 PHP 配置

找到 php.ini 文件：

php —ini

编辑配置文件，修改以下参数：

upload_max_filesize = 64M post_max_size = 64M

步骤3：重启 PHP-FPM

systemctl restart php-fpm 或根据你的 PHP 版本：php7.4-fpm、php8.1-fpm 等

步骤4：验证修改

php -i | grep -E “upload_max_filesize|post_max_size”

Nginx 配置

步骤1：检查 Nginx 配置

nginx -T | grep client_max_body_size

步骤2：修改 Nginx 配置

编辑网站配置文件（通常在 /etc/nginx/sites-available/ 或 /etc/nginx/conf.d/）：

server {
    # ...
    client_max_body_size 64M;
    # ...
}

或在 http 块中全局设置：

http {
    client_max_body_size 64M;
}

步骤3：测试配置

nginx -t

步骤4：重载 Nginx

systemctl reload nginx

步骤5：验证修改

nginx -T | grep client_max_body_size

完整诊断脚本

如果不确定问题在哪，可以尝试使用这个脚本一次性检查所有项，将此文件保存为 diagnose.php 放到网站根目录，访问后会显示所有诊断信息

<?php
error_reporting(E_ALL);
ini_set('display_errors', 1);

echo "<h2>Typecho 附件上传完整诊断</h2>";

// 1. 路径检查
echo "<h3>1. 路径检查</h3>";
$uploadDir = __DIR__ . '/usr/uploads';
echo "PHP 访问路径: $uploadDir<br>";
echo "实际物理路径: " . realpath($uploadDir) . "<br>";
echo "目录存在: " . (is_dir($uploadDir) ? "是" : "否") . "<br>";

// 2. 权限检查
echo "<h3>2. 权限检查</h3>";
echo "可读: " . (is_readable($uploadDir) ? "是" : "否") . "<br>";
echo "可写: " . (is_writable($uploadDir) ? "是" : "否") . "<br>";

// 3. 写入测试
echo "<h3>3. 写入测试</h3>";
$testFile = $uploadDir . '/test_' . time() . '.txt';
if (@file_put_contents($testFile, 'test')) {
    echo "写入成功<br>";
    @unlink($testFile);
} else {
    echo "写入失败<br>";
    $error = error_get_last();
    echo "错误: " . $error['message'] . "<br>";
}

// 4. PHP 配置
echo "<h3>4. PHP 上传配置</h3>";
echo "file_uploads: " . (ini_get('file_uploads') ? "开启" : "关闭") . "<br>";
echo "upload_max_filesize: " . ini_get('upload_max_filesize') . "<br>";
echo "post_max_size: " . ini_get('post_max_size') . "<br>";

// 5. 磁盘空间
echo "<h3>5. 磁盘空间</h3>";
$total = disk_total_space('/');
$free = disk_free_space('/');
$used = $total - $free;
$percent = round(($used / $total) * 100, 2);
echo "总空间: " . round($total / 1024 / 1024 / 1024, 2) . " GB<br>";
echo "已用: " . round($used / 1024 / 1024 / 1024, 2) . " GB<br>";
echo "剩余: " . round($free / 1024 / 1024 / 1024, 2) . " GB<br>";
echo "使用率: $percent%<br>";

// 6. 环境信息
echo "<h3>6. 环境信息</h3>";
echo "PHP 版本: " . phpversion() . "<br>";
echo "运行用户: " . (function_exists('posix_getpwuid') ? posix_getpwuid(posix_geteuid())['name'] : '未知') . "<br>";
echo "临时目录: " . sys_get_temp_dir() . "<br>";

// 7. 数据库配置检查
echo "<h3>7. 数据库配置</h3>";
try {
    require_once __DIR__ . '/config.inc.php';
    $db = \Typecho\Db::get();
    $result = $db->fetchRow($db->select('value')->from('table.options')->where('name = ?', 'attachmentTypes'));
    
    if ($result) {
        $value = $result['value'];
        echo "attachmentTypes 配置: " . (strlen($value) > 100 ? substr($value, 0, 100) . '...' : $value) . "<br>";
        
        // 检查是否包含宏定义
        if (strpos($value, '@image@') !== false || strpos($value, '@media@') !== false) {
            echo "<span style='color:red'>警告：配置包含宏定义，可能导致解析错误！</span><br>";
        }
    }
} catch (Exception $e) {
    echo "无法连接数据库<br>";
}

echo "<hr>";
echo "<p>诊断完成。根据以上结果对照排查方案进行修复。</p>";
?>

希望我的案例和这份方案可以帮到你有任何问题欢迎反馈交流

DemoTyper - VS Code的假装打代码插件

2026.01.12 · 共 662 字

专门用于 （比赛中演戏 / 上课讲解 / 录屏装X） 这些需要边讲边敲的场景

本插件支持类似真人的代码输出顺序，不用担心被看穿，这是一个的专业表演工具，请放心的交给我

随便敲击键盘，插件自动帮你输出预先准备好的代码，优先输出 {}、() 等一系列结构性字符，再返回 {} 中回车继续打字，模拟类似真人的打字顺序，观众/评委看起来你在流畅地写代码，实际上你只需要专注讲解

喜欢的话，请给我们一个Start!

开始使用吧

1. 准备目标代码

准备一个完善的代码文件，例如：

function fibonacci(n) {
    if (n <= 1) return n;
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

console.log(fibonacci(10));

2. 保存目标代码文件

在文件资源管理器中右键点击该文件，点击 → DemoTyper: Set as Demo Target File

3. 准备需要展示的代码部分

重要：在同一个文件中删除部分内容，保存文件。例如删除函数体：

function fibonacci(n) {

}

console.log(fibonacci(10));

4. 开启秘密模式，表演开始

按 Ctrl+Shift+Alt+S（Mac: Cmd+Shift+Alt+S）

接下来可以随便敲击键盘

侧边栏功能

DemoTyper 提供了一个侧边栏面板，方便你：

一键切换秘密模式
设置/清除保存的文件
查看当前状态
快速访问设置

关于插件的安装

方式一：从 VS Code自带插件商店下载

在 VS Code 插件商店中搜索“ DemoTyper ”
直接点击下载，VS Code提示安装成功，即可使用

方式二：从 VSIX 安装

从 Releases 下载最新的 .vsix 文件
拖动vsix文件到编辑器的右侧项目文件中
右击 .vsix 文件
点击弹窗最下面的 “安装扩展 VSIX”

方式三：从源码构建

git clone https://github.com/fcmNaNo2/demotyper.git
cd demotyper
npm install
npm run compile
npx vsce package

编译完成后会生成 .vsix 文件，使用方式二安装。

项目信息

GitHub: https://github.com/fcmNaNo2/demotyper
平台支持: Windows macOS
作者: Losst & NaNo2
开源协议: MIT License

发现问题，可以通过评论/右侧絮语中的邮箱进行反馈

腾讯云 EdgeOne CDN 新手使用指南

2025.12.24 · 共 1422 字

EdgeOne 是腾讯云推出的边缘安全加速平台，整合了 CDN 加速、DDoS 防护、WAF 防火墙等功能。本文将详细介绍如何使用 EdgeOne 加速你的网站。

前置准备

在开始之前，你需要准备：

腾讯云账号 - 已完成实名认证
已备案域名 - 国内加速需要域名备案
源站服务器 - 你的网站服务器 IP 或域名

一、创建 EdgeOne 站点

1.1 登录控制台

访问腾讯云 EdgeOne 控制台，点击「创建站点」。

1.2 选择接入方式

EdgeOne 提供两种接入方式：

接入方式	说明	适用场景
NS 接入	将域名 DNS 迁移到 EdgeOne	完整功能支持
CNAME 接入	保留原 DNS，添加 CNAME 记录	快速接入

💡 推荐使用 CNAME 接入，更加灵活且不影响其他 DNS 记录。

1.3 添加站点

输入你的根域名（如 example.com），选择服务套餐后创建站点。

二、配置加速域名

2.1 添加域名

在站点详情页，点击「域名服务」>「添加域名」：

域名: www.example.com
源站类型: IP 地址
源站地址: 你的服务器公网IP
回源端口: 443
回源协议: HTTPS

2.2 配置回源

回源配置决定了 EdgeOne 如何从你的源站获取内容：

# 推荐配置
回源协议: HTTPS (跟随协议)
回源 Host: www.example.com
回源超时: 60s
回源重试: 开启

三、SSL 证书配置

3.1 申请免费证书

EdgeOne 提供免费的 DV 证书，在「SSL 证书」页面可一键申请：

选择域名 www.example.com
点击「申请免费证书」
等待自动验证（约 5 分钟）

3.2 上传自有证书

如果你有自己的证书（如 Let’s Encrypt），可以手动上传：

# 证书格式要求
- 证书文件: PEM 格式 (.pem/.crt)
- 私钥文件: PEM 格式 (.key)

3.3 配置 HTTPS

推荐启用以下选项：

强制 HTTPS: 自动将 HTTP 请求重定向到 HTTPS
HSTS: 启用 HTTP 严格传输安全
TLS 版本: 最低 TLS 1.2

四、缓存规则配置

4.1 默认缓存规则

EdgeOne 会根据响应头自动缓存静态资源。你也可以自定义规则：

// 静态资源缓存 30 天
规则: *.js, *.css, *.png, *.jpg, *.woff2
缓存时间: 2592000 秒 (30天)

// HTML 不缓存
规则: *.html
缓存时间: 0 (不缓存)

4.2 缓存键规则

对于动态内容，可以配置缓存键规则：

# 忽略查询参数
忽略参数: utm_source, utm_medium, fbclid

# 保留特定参数
保留参数: page, id, lang

4.3 清除缓存

当更新内容后需要清除缓存：

# 方式一: URL 清除
清除 URL: https://www.example.com/path/to/file

# 方式二: 目录清除
清除目录: https://www.example.com/blog/

# 方式三: 全站清除
清除全部缓存

五、安全防护配置

5.1 WAF 防护

EdgeOne 内置 WAF 规则，建议开启：

托管规则: 防护 SQL 注入、XSS 等常见攻击
速率限制: 防止 CC 攻击
Bot 管理: 识别和拦截恶意爬虫

5.2 DDoS 防护

EdgeOne 提供 L3/L4/L7 层 DDoS 防护：

# 推荐配置
清洗阈值: 自动
防护模式: 智能防护

六、DNS 配置

6.1 获取 CNAME

在域名详情页复制 CNAME 记录值，格式类似：

www.example.com.eo.dnse3.com

6.2 配置 DNS 记录

在你的 DNS 服务商处添加 CNAME 记录：

主机记录	记录类型	记录值
www	CNAME	xxx.eo.dnse3.com

⚠️ 注意：添加 CNAME 后，需要删除该主机记录对应的 A 记录。

6.3 验证配置

等待 DNS 生效后（通常 5-10 分钟），验证配置：

# 查询 DNS 解析
dig www.example.com

# 测试连通性
curl -I https://www.example.com

七、性能优化

7.1 智能压缩

开启 Gzip/Brotli 压缩，减少传输体积：

压缩算法: Brotli (优先) + Gzip (兼容)
压缩类型: text/html, text/css, application/javascript, application/json

7.2 HTTP/2 & HTTP/3

EdgeOne 默认支持 HTTP/2，可开启 HTTP/3 (QUIC) 进一步提升性能：

HTTP/2: 开启
HTTP/3: 开启 (实验性)

7.3 预取与预热

对于热点内容，可以主动推送到边缘节点：

# URL 预热
预热 URL: https://www.example.com/popular-page

八、监控与分析

8.1 访问日志

EdgeOne 提供实时访问日志，可导出到 COS 或 CLS：

日志类型: 实时日志
存储位置: COS 存储桶
保留时间: 30 天

8.2 数据分析

在「数据分析」页面可查看：

请求量/带宽统计
缓存命中率
状态码分布
Top URL/IP/UA

常见问题

Q1: 回源 502 错误？

检查以下配置：

源站 IP 是否正确
回源端口是否开放
源站证书是否有效

Q2: 缓存不生效？

确认以下几点：

响应头 Cache-Control 是否允许缓存
是否设置了正确的缓存规则
清除缓存后重试

Q3: HTTPS 证书错误？

检查证书配置：

证书是否与域名匹配
证书链是否完整
证书是否过期

总结

通过 EdgeOne 加速，你可以获得：

更快的访问速度: 全球边缘节点加速
更高的安全性: 集成 WAF 和 DDoS 防护
更低的源站负载: 静态资源边缘缓存

希望这篇教程对你有帮助！如有问题欢迎在评论区讨论。

常用三角公式与定理

2026.02.27 · 共 622 字

（1）两角和与差的三角函数公式

两角和与差公式
$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$

（2）二倍角公式

二倍角公式
$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$
$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$
$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$

（3）正弦定理与余弦定理

正弦定理
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

余弦定理
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A,\ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B,\ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C,\ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

任意角、同角的三角函数全解析

2026.02.27 · 共 1118 字

一、任意角的三角函数定义

1. 直角坐标系定义

在平面直角坐标系中，设任意角 $\alpha$ 的终边上任意一点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$ ，原点到点 $P$ 的距离为 $r = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$ ，则：

三角函数	定义公式
正弦	$\sin\alpha = \frac{y}{r}$
余弦	$\cos\alpha = \frac{x}{r}$
正切	$\tan\alpha = \frac{y}{x} \ (x \neq 0)$
余切	$\cot\alpha = \frac{x}{y} \ (y \neq 0)$

2. 单位圆定义

以原点为圆心，单位长度为半径的圆叫单位圆。角 $\alpha$ 终边与单位圆的交点为 $P(x, y)$ ，此时 $r=1$ ，因此：

三角函数	定义公式
正弦	$\sin\alpha = \frac{y}{1} = y$
余弦	$\cos\alpha = \frac{x}{1} = x$
正切	$\tan\alpha = \frac{y}{x} \ (x \neq 0)$

角 $\alpha$ 的正弦值等于它的终边与单位圆交点 $P$ 的纵坐标，角 $\alpha$ 的余弦值等于它的终边与单位圆交点 $P$ 的横坐标。因此，角 $\alpha$ 的终边与单位圆的交点坐标为 $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ 。

二、界限角的三角函数值（0°/90°/180°/270°/360°）

界限角指终边落在坐标轴上的角

零角三角函数值
$\sin 0 = \frac{y}{r} = \frac{0}{r} = 0,\ \cos 0 = \frac{x}{r} = \frac{r}{r} = 1,\ \tan 0 = \frac{y}{x} = \frac{0}{x} = 0$

角度	弧度	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$	$\cot\alpha$
$0^\circ$	$0$	$0$	$1$	$0$	不存在
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	不存在	$0$
$180^\circ$	$\pi$	$0$	$-1$	$0$	不存在
$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	不存在	$0$
$360^\circ$	$2\pi$	$0$	$1$	$0$	不存在

三、同角三角函数的基本关系

对于任意有意义的角 $\alpha$ ，满足以下核心关系：

1. 平方关系

平方关系
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

2. 商数关系

商数关系
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \ (\cos\alpha \neq 0)$
$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \ (\sin\alpha \neq 0)$

三角函数诱导公式分类速查表（α 相关角与 π/2 相关角）

2026.02.26 · 共 738 字

三角函数诱导公式表（α相关角）

三角函数\角	$-\alpha$	$\pi-\alpha$	$\pi+\alpha$	$2\pi-\alpha$	$2k\pi+\alpha$
$\sin$	$-\sin\alpha$	$\sin\alpha$	$-\sin\alpha$	$-\sin\alpha$	$\sin\alpha$
$\cos$	$\cos\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\cos\alpha$	$\cos\alpha$	$\cos\alpha$
$\tan$	$-\tan\alpha$	$-\tan\alpha$	$\tan\alpha$	$-\tan\alpha$	$\tan\alpha$
$\cot$	$-\cot\alpha$	$-\cot\alpha$	$\cot\alpha$	$-\cot\alpha$	$\cot\alpha$

三角函数诱导公式表（π/2 相关角）

三角函数\角	$\frac{\pi}{2}-\alpha$	$\frac{\pi}{2}+\alpha$	$\frac{3\pi}{2}-\alpha$	$\frac{3\pi}{2}+\alpha$
$\sin$	$\cos\alpha$	$\cos\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\cos\alpha$
$\cos$	$\sin\alpha$	$-\sin\alpha$	$-\sin\alpha$	$\sin\alpha$
$\tan$	$\cot\alpha$	$-\cot\alpha$	$\cot\alpha$	$-\cot\alpha$
$\cot$	$\tan\alpha$	$-\tan\alpha$	$\tan\alpha$	$-\tan\alpha$

弧度制定义与角度-弧度换算

2026.02.26 · 共 328 字

公式名称	公式
弧度的定义	$\lvert\alpha\rvert = \frac{l}{r}\ (\text{rad})$
周角换算	$360^\circ = 2\pi\ (\text{rad})$
平角换算	$180^\circ = \pi\ (\text{rad})$
角度转弧度	$\alpha^\circ = \alpha\cdot\dfrac{\pi}{180^\circ}\ (\text{rad})$
弧度转角度	$\theta\ \text{rad} = \theta\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi}\ (^\circ)$
弧长公式	$l = \alpha\cdot r$
扇形面积公式	$S = \dfrac{1}{2}lr = \dfrac{1}{2}\alpha r^2$

三角函数值速查表

2026.02.26 · 共 582 字

特殊角的三角函数值表（角度制，0°~90°）

三角函数\角	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin\alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	不存在
$\cot\alpha$	不存在	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$

坐标轴角三角函数值表（弧度制，0~2π）

三角函数\角	$0$ （ $0^\circ$ ）	$\frac{\pi}{2}$ （ $90^\circ$ ）	$\pi$ （ $180^\circ$ ）	$\frac{3\pi}{2}$ （ $270^\circ$ ）	$2\pi$ （ $360^\circ$ ）
$\sin\alpha$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos\alpha$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\tan\alpha$	$0$	不存在	$0$	不存在	$0$

两个向量位置关系的判定

2026.02.19 · 共 408 字

（1）平行的充要条件

$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b} \iff x_1y_2 = x_2y_1$

（2）夹角的余弦公式

$\cos\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \rangle = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

（3）垂直的充要条件

$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0 \iff x_1x_2 + y_1y_2 = 0$

平面向量的内积

2026.02.19 · 共 390 字

（1）向量内积的定义式

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \rangle$

（2）向量内积的坐标运算式

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

（3）两向量夹角的余弦公式

$\cos\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \rangle = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

平面向量及其线性运算的坐标表示

2026.02.19 · 共 468 字

平面向量的坐标表示

（1）起点为原点，终点为 M(x,y) 的向量 a 坐标为

$\boldsymbol{a} = (x, y)$

（2）起点为点 A(x₁,y₁)，终点为 B(x₂,y₂) 的向量的坐标为

$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)$

（3）向量 a = (x, y) 的模为

$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

（4）向量 AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁) 的模为

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

向量线性运算的坐标表示

（1）向量加法坐标运算公式

$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (x_1 + x_2,\ y_1 + y_2)$

（2）向量减法坐标运算公式

$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (x_1 - x_2,\ y_1 - y_2)$

（3）向量数乘坐标运算公式

$\lambda \boldsymbol{a} = (\lambda x_1,\ \lambda y_1)$

平面向量的线性运算（加、减、乘法）

2026.02.19 · 共 581 字

（1）向量加法

$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(x_1+x_2,\ y_1+y_2)$ 满足法则：

法则
$\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a},\ \vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$
$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$

（2）向量减法

$\mathbf{a}-\mathbf{b}=(x_1-x_2,\ y_1-y_2)$ 满足法则：

法则
$\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+(-\mathbf{b})$

（3）向量乘法

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=x_1x_2+y_1y_2$ 满足法则：

法则
$1\vec{a}=\vec{a},\ (-1)\vec{a}=-\vec{a}$
$(\lambda\mu)\vec{a}=\lambda(\mu\vec{a})=\mu(\lambda\vec{a})$
$(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$
$\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$