任意角、同角的三角函数全解析

一、任意角的三角函数定义

1. 直角坐标系定义

在平面直角坐标系中，设任意角$\alpha$的终边上任意一点$P$的坐标为$(x, y)$，原点到点$P$的距离为$r = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$，则：

三角函数	定义公式
正弦	$\sin\alpha = \frac{y}{r}$
余弦	$\cos\alpha = \frac{x}{r}$
正切	$\tan\alpha = \frac{y}{x} \ (x \neq 0)$
余切	$\cot\alpha = \frac{x}{y} \ (y \neq 0)$

2. 单位圆定义

以原点为圆心，单位长度为半径的圆叫单位圆。角$\alpha$终边与单位圆的交点为$P(x, y)$，此时$r=1$，因此：

三角函数	定义公式
正弦	$\sin\alpha = \frac{y}{1} = y$
余弦	$\cos\alpha = \frac{x}{1} = x$
正切	$\tan\alpha = \frac{y}{x} \ (x \neq 0)$

角$\alpha$的正弦值等于它的终边与单位圆交点$P$的纵坐标，角$\alpha$的余弦值等于它的终边与单位圆交点$P$的横坐标。因此，角$\alpha$的终边与单位圆的交点坐标为$(\cos\alpha, \sin\alpha)$。

二、界限角的三角函数值（0°/90°/180°/270°/360°）

界限角指终边落在坐标轴上的角

零角三角函数值
$\sin 0 = \frac{y}{r} = \frac{0}{r} = 0,\ \cos 0 = \frac{x}{r} = \frac{r}{r} = 1,\ \tan 0 = \frac{y}{x} = \frac{0}{x} = 0$

角度	弧度	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$	$\cot\alpha$
$0^\circ$	$0$	$0$	$1$	$0$	不存在
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	不存在	$0$
$180^\circ$	$\pi$	$0$	$-1$	$0$	不存在
$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	不存在	$0$
$360^\circ$	$2\pi$	$0$	$1$	$0$	不存在

三、同角三角函数的基本关系

对于任意有意义的角$\alpha$，满足以下核心关系：

1. 平方关系

平方关系
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

2. 商数关系

商数关系
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \ (\cos\alpha \neq 0)$
$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \ (\sin\alpha \neq 0)$