一、任意角的三角函数定义
1. 直角坐标系定义
在平面直角坐标系中，设任意角$\alpha$的终边上任意一点$P$的坐标为$(x, y)$，原点到点$P$的距离为$r = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$，则：
| 三角函数 | 定义公式 |
|---|---|
| 正弦 | $\sin\alpha = \frac{y}{r}$ |
| 余弦 | $\cos\alpha = \frac{x}{r}$ |
| 正切 | $\tan\alpha = \frac{y}{x} \ (x \neq 0)$ |
| 余切 | $\cot\alpha = \frac{x}{y} \ (y \neq 0)$ |
2. 单位圆定义
以原点为圆心，单位长度为半径的圆叫单位圆。角$\alpha$终边与单位圆的交点为$P(x, y)$，此时$r=1$，因此：
| 三角函数 | 定义公式 |
|---|---|
| 正弦 | $\sin\alpha = \frac{y}{1} = y$ |
| 余弦 | $\cos\alpha = \frac{x}{1} = x$ |
| 正切 | $\tan\alpha = \frac{y}{x} \ (x \neq 0)$ |
角$\alpha$的正弦值等于它的终边与单位圆交点$P$的纵坐标，角$\alpha$的余弦值等于它的终边与单位圆交点$P$的横坐标。因此，角$\alpha$的终边与单位圆的交点坐标为$(\cos\alpha, \sin\alpha)$。
二、界限角的三角函数值（0°/90°/180°/270°/360°）
界限角指终边落在坐标轴上的角
| 零角三角函数值 |
|---|
| $\sin 0 = \frac{y}{r} = \frac{0}{r} = 0,\ \cos 0 = \frac{x}{r} = \frac{r}{r} = 1,\ \tan 0 = \frac{y}{x} = \frac{0}{x} = 0$ |
| 角度 | 弧度 | $\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $\tan\alpha$ | $\cot\alpha$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ | 不存在 |
| $90^\circ$ | $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | 不存在 | $0$ |
| $180^\circ$ | $\pi$ | $0$ | $-1$ | $0$ | 不存在 |
| $270^\circ$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $-1$ | $0$ | 不存在 | $0$ |
| $360^\circ$ | $2\pi$ | $0$ | $1$ | $0$ | 不存在 |
三、同角三角函数的基本关系
对于任意有意义的角$\alpha$，满足以下核心关系：
1. 平方关系
| 平方关系 |
|---|
| $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ |
2. 商数关系
| 商数关系 |
|---|
| $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \ (\cos\alpha \neq 0)$ |
| $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \ (\sin\alpha \neq 0)$ |
